聲音 × 數學 × 音樂感知
頻率與音高的關係：用數學解鎖音樂
從赫茲到音名、從等比到等溫，帶你用簡潔的數學看懂音高是如何被「調音」與「聽見」。
一、聲音、頻率與音高的基本概念
1) 什麼是頻率？
頻率指的是聲波每秒振動的次數，單位為赫茲（Hz）。頻率越高，音調通常越尖銳；頻率越低，音調則通常越低沉。
例：標準音 A4 的頻率為 440 Hz。
2) 音高的感知
人耳對音高的感知呈現出接近對數尺度的特性：相同的倍頻比例會被感知為相同的音程關係。這一特性正是八度音程數學基礎的核心所在。
倍頻關係 對數感知 八度等價二、八度（Octave）與十二平均律
1) 八度 = 倍頻 ×2
當頻率增加至原本的兩倍時，音高會提升一個八度；相反地，當頻率減少至原本的一半時，音高則會下降一個八度。這種基於幾何倍增的規律正是音階設計的核心原則，為音樂的結構提供了科學而精確的基礎。
例：A4 = 440 Hz，A5 = 880 Hz，A3 = 220 Hz。
2) 十二平均律（12-TET）
將一個八度等比分成 12 個半音，每一步的頻率比為 2 的 1/12 次方。因此相鄰兩個半音的頻率比固定。
| 音名 | 相對 A4 的半音數 n | 頻率計算方式 |
|---|---|---|
| A4 | 0 | f = 440 × 2^(0/12) = 440 |
| C5 | +3 | f = 440 × 2^(3/12) ≈ 523.25 |
| E4 | -5 | f = 440 × 2^(-5/12) ≈ 329.63 |
三、關鍵公式與轉換
1) 半音位移到頻率
相對於基準音 f0（如 440 Hz），若位移 n 個半音：
f = f0 × 2^(n/12)
正的 n 表示升高，負的 n 表示降低。
2) 頻率到音高（以音分表示）
兩個頻率 f1、f2 的音程（音分 cents）：
cents = 1200 × log2(f2 / f1)
一個八度 = 1200 音分；一個半音 = 100 音分。
四、快速對照表與實用範例
常見音與頻率
| 音名 | 頻率(Hz) |
|---|---|
| A4 | 440.00 |
| C4 | 261.63 |
| E4 | 329.63 |
| G4 | 392.00 |
| A5 | 880.00 |
轉調小技巧
升高一個半音：將頻率乘上 2 的 1/12 次方；下降兩個半音：乘上 2 的 -2/12 次方。
例：將 440 Hz 升半音 → 440 × 2^(1/12) ≈ 466.16 Hz。
實驗活動建議
- 使用產生器輸出不同 Hz，辨識音高差異
- 比較 440 Hz 與 880 Hz，體會八度等價
- 量測兩頻率的音分差，練習公式套用
五、延伸：純律、平均律與拍頻
1) 純律的簡比分
純律以簡單整數比構成音程，例如五度 3:2、四度 4:3、大三度 5:4。聽感純淨但轉調受限。
2) 平均律的均分特性
十二平均律將八度均分為 12 等比單位，便於轉調與鍵盤樂器製作，但與純律相比有微小偏差。
3) 拍頻與微小差異
兩個相近頻率同時響起會產生拍頻，拍速約為 |f2 - f1|。調音時以減少拍頻為目標之一。
4) 聽覺的非線性
人耳對音量與音高的敏感度隨頻段改變，實務上常用對數刻度與等響曲線概念來呈現。
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